Trang 15
| THUẬT NGỮ • Phép thử lặp • Công thức Bernoulli • Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n, p). | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết khái niệm phép thử lặp. Nhận biết công thức Bernouli. Vận dụng công thức Bernouli trong mộtsố tình huống đơn giản. Nhận biết khái niệm biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n, p). Vận dụng phân bố nhị thức để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. |
1. PHÉP THỬ LẶP VÀ CÔNG THỨC BERNOULLI
Khi mua vé tham gia một trò chơi, người chơi được chọn một trong hai phương án sau:
• Phương án 1: Người chơi gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 12 lần. Người chơi thắng nếu có ít nhất hai lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
• Phương án 2: Người chơi gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 6 lần. Người chơi thắng nếu có ít nhất một lần xúc xắc xuắt hiện mặt 6 chấm.
Hỏi người chơi nên chọn phương án nào để xác suất thắng cao hơn?
HĐ1. Hình thành khái niệm phép thử lặp và công thức Bernoulli
Trong tình huống mở đầu. Xét phép thử T là gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi E là biến cố: "Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm'.
a) Trong phương án 1, phép thử được lặp lại bao nhiêu lần? Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện bao nhiêu lần?
b) Cũng hỏi như trên với phương án 2.
| Xét phép thử T và E là một biến có liên quan tới phép thử T: Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, tức là P(E) = p, 0 < p <1. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập, tức là các lần lặp này không ảnh hưởng lẫn nhau. Phép thử T thực hiện lặp lại nhiều lần một cách độc lập gọi là phép thử lặp. Kí hiệu Khi đó
Công thức trên được gọi là công thức Bemouli. |
là biến cố: "Trong phép thử lặp này, biến cố E xuất hiện đúng k lần (0 < k < n)".
.Trang 16
Ví dụ 1. Xác suất thành công khi làm một thí nghiệm T là 0,4. Một nhóm gồm 9 học sinh độc lập với nhau tiến hành thí nghiệm T. Tính xác suất để:
a) Có đúng 6 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
b) Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công;
©) Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công.
Giải
Gọi E là biến cố: "Thí nghiệm T thành công”. Ta có P(E) = 0,4; n = 9.
a) Gọi 
(0 < k < 6) là biến cố: "Có đúng k học sinh thực hiện thành công”.
Theo công thức Bermoulii ta có:
.
b) Gọi M là biến cố: “Có ít nhất 1 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công”
Biến cố đối 
của M là: 'Không có học sinh nào thực hiện thí nghiệm thành công”, hay 
.
Vậy P(M) = 1 - P() = 1 - P(
) = 1- 0,6
≈ 0,9899.
c) Gọi N là biến cố: “Có nhiều nhất 7 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công”.
Biến có đối 
của N là biến cố: "Có 8 học sinh hoặc 9 học sinh thực hiện thí nghiệm thành công", tức là xảy ra một trong các biến cố 
hoặc 
, hay 
.
Vậy:
⇒ 
.
Luyện tập 1. Hai bạn An và Bình thi đầu bóng bàn. Xác suất thắng của An trong một ván là 0,4. Hai bạn thi đầu đủ 3 ván đấu. Người nào có số ván đầu thắng nhiều hơn là người thắng trận đấu đó. Giả sử các ván đầu là độc lập. Tính xác suất để An thắng trong trận đấu.
Ví dụ 2. Trở lại tình huống mở đầu. Tính xác suất thắng của người chơi khi chọn chơi theo phương án 1.
Giải
Gọi T là phép thử: "Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất"; E là biến có: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Xét phép thử lặp với n = 12 và 
.
Gọi B là biến cố: "Người chơi thắng". B cũng là biến cố: "Trong phép thử lặp T, với n = 12, biến cố E xuất hiện ít nhất hai lần"
Xét biến có đối 
: “Trong phép thử lặp T, biến cố E xuất hiện nhiều nhất một lần”. Ta có 
. Theo quy tắc cộng xác suắt và công thức Bemoulli, ta có:
.
Trang 17
Suy ra:
.
Vậy xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 1 xấp xỉ 0,61867.
Luyện tập 2. Trở lại tình huống mở đầu.
a) Tính xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 2.
b) Qua các kết quả đã tính được, hãy cho biết người chơi nên chọn chơi theo phương án nào để xác suất thắng cao hơn.
2. BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN BỐ NHỊ THỨC VÀ ÁP DỤNG
Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm, mỗi câu trả lời sai không được điểm (0 điểm). Thí sinh vượt qua bài thi đó nẾu đạt ít nhất 5 điểm. Bạn An làm hết 10 câu trong bài thi bằng cách mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Hỏi:
a) Trung bình An được bao nhiêu điểm?
b) Xác suất để An vượt qua bài thi đó là bao nhiêu?
HĐ2. Hình thành khái niệm biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức
Cho T là một phép thử và E là một biến có liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, tức là P(E) = p, 0 < p <1. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố E trong n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Tính P(X = k) với mỗi k ∈ {0; 1;...; n}
| Biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập các giá trị có thể là {0;1; 2;...; n} và có bảng phân bố xác suất như sau:
Biến ngẫu nhiên X như trên được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n, p), kí hiệu là X ~ B(n, p) Biến ngẫu nhiên X có phân bố nhị thức với tham số (1, p) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli, kí hiệu là X ~ Ber(g). |
Câu hỏi
Viết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bổ Bernoulli.
Trang 18
Nhận xét. Cho T là một phép thử và E là một biến có liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến có E có xác suất xuất hiện bằng p, P(E) = p. Gọi X là số lần xuất hiện biến có E trong n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Khi đó X ~ B(n, p)
Chú ý về phân bố nhị thức
Cho X là biến ngẫu nhiên với X ~ B(n, p). Khi đó, với mỗi số nguyên dương k (1< k < n) ta có:
a) 
;
b) 
.
Ví dụ 3. Bạn Minh tham gia một trò chơi như sau:
Trên mặt sàn có vẽ một trục số (H.1.2). Ban đầu, Minh đứng tại vị trí 0 trên trục số và tung một đồng xu cân đối, đồng chất một cách độc lập. Nếu đồng xu ra mặt ngửa (kí hiệu là N) thì di chuyển 1 đơn vị theo chiều dương. Nếu đồng xu ra mặt sắp (kí hiệu là S) thì di chuyển 1 đơn vị theo chiều âm. Minh thực hiện 8 lần tung đồng xu một cách độc lập. Nếu Minh di chuyển được ít nhất 4 đơn vị theo chiêu dương thì sẽ thắng cuộc. (Chẳng hạn, nếu kết quả 8 lần tung đồng xu là N-S-N-N-N-N-N-N thì Minh thắng.)
Hình 1.2
Gọi X là số lần đồng xu của Minh ra mặt ngửa.
a) Gọi tên phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X.
b) Tính xác suất thắng của Minh.
Giải
a) Phép thử T là: “Tung đồng xu cân đối, đồng chất”. E là biến cố: “Đồng xu ra mặt ngửa".
Ta có 
. X là số lần xuất hiện biến cố E trong 8 lần thực hiện lặp lại phép thử T một cách độc lập. Theo Nhận xét (sau HĐ2), khi đó X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị
thức với n = 8; 
.
b) Vì X là số lần đồng xu của Minh ra mặt ngửa nên số lần đồng xu của Minh ra mặt sắp là 8 - X. Minh di chuyển được X - (8 - X) = 2X - 8 đơn vị theo chiều dương.
Minh thắng cuộc nếu 2X - 8 > 4, tức là X ≥ 6.
Vậy xác suất để Minh thắng cuộc là P(X ≥ 6). Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có:
.
Luyện tập 5. Khi tham gia một trò chơi, người chơi gieo một con xúc xắc cân đồi, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 5 lần. Mỗi lần gieo nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 4 thì người chơi được 10 điểm. Tính xác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm.
Trang 19
Chú ý. Người ta chứng minh được rằng kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ~ B(n, p) được cho bởi các công thức sau:
E(X) = n · p,
V(X) = n · p · (1 - p);
σ(X) = 
.
Ví đụ 4. Trong một trò chơi, người chơi gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp 18 lần một cách độc lập. Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 3 lần xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Gọi X là số lần xúc xắc xuắt hiện mặt 6 chấm.
a) Gọi tên phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X.
b) Tính xác suất để người chơi thắng cuộc.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải
a) Phép thử T là: “Gieo con xúc xắc cân đối, đồng chất". E là biến cố: “Con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Ta có 
. X là số lần xuất hiện biến cố E trong 18 lần thực hiện lặp lại phép thử T một cách độc lập. Theo Nhận xét (sau HĐ2), khi đó X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với n = 18; 
.
b) Gọi E là biến cố “Người chơi thắng”. Ta có E = {X ≥ 3}.
Biến cố đối 
: "Người chơi thua cuộc" là biến cố {X ≤ 2}
Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có:
.
Do đó
.
c) Áp dụng công thức tính E(X) và V(X) ta có:
E(X) = n · p = 18 · 
= 3;
V(X) = n · p(1 - p) = 18 · · 
= 2,5;
σ(X) = 
≈ 1,5811.
Trang 20
Vận dụng. Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.
Hướng dẫn
a) Gọi X là số câu trả lời đúng của An. X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10, 
. Số điểm trung bình là E(X). Vậy trung bình An nhận được. E(X) = np = 10. 
= 2,5 đểm
b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5. Theo chú ý về phân bố nhị thức, ta có:
.
Từ đó tính được xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ 7,81%.
BÀI TẬP
1.6. Tại một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, các linh kiện được xếp vào từng hộp một cách độc lập, mỗi hộp 10 linh kiện. Hộp được xếp loại nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn. Biết rằng xác suất để nhà máy sản xuắt ra một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn là 0,01. Hỏi tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại là bao nhiêu?
1.7. Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:
a) 15 điểm;
b) Bị điểm âm.
1.8. Trong một trò chơi, mỗi ván người chơi gieo đồng thời 3 xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu có ít nhất 2 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì người chơi giành chiến thắng ván chơi đó. Bác Hưng tham gia chơi 3 ván. Tính xác suắt để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván.
1.9. Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội A và allele lặn a. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây
con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene.
Bốn bạn An, Bình, Sơn và Dương, mỗi bạn độc lập với nhau, thực hiện phép thử là lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là Aa, cây mẹ có kiểu gene là Aa.
Gọi X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Hỏi trung bình có bao nhiêu cây con có hạt màu xanh?
Trang 21
1.10. Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.
b) Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.
c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
1.11. Sơn và Tùng thi đầu bóng bàn với nhau. Trận đấu gồm 5 ván độc lập. Xác suất thắng của Sơn trong mỗi ván là 
. Biết rằng mỗi ván không có kết quả hoà. Người thắng
trận đầu nếu thắng ít nhất 3 ván đầu.
a) Gọi X là số trận thắng của Sơn. Hỏi X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất gì?
b) Tính xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đầu.
1.12. Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ
số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi X là số quả cam không đạt chất lượng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.
b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:
Trong 20 lần lấy đó:
- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại l;
- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;
- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại IIl.
Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, II
