Trang 34
| THUẬT NGỮ • Bài toán tối ưu • Bài toán kinh tế • Hàm cầu, chi phí, doanh thu, lợi nhuận | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu xuất hiện trong thực tiễn. • Vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế. |
Tia tới
pháp tuyến
Tia phản xạ
Gương
Vào năm 1658, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã đưa ra một nguyên lí cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là nguyên lí Fermat (theo britannica.com). Từ nguyên lí này có thể rút ra được các định luật cơ bản khác của quang hình học như định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng,...
Nguyên lí Fermat và ứng dụng của nó trong Vật lí là một ví dụ điển hình mô tả rõ tầm quan trọng của bài toán tối ưu trong khoa học, kĩ thuật. Trong thực tiễn cuộc sống, cũng có rất nhiều tình huống xuất hiện các bài toán tối ưu. Ví dụ như: một doanh nhân muốn giảm thiểu chi phí và tối đa hoá lợi nhuận kinh doanh; một du khách muốn giảm thiểu thời gian di chuyển,... Trong bài này, chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải một số bài toán tối ưu trong thực tiễn, đặc biệt là các bài toán tối ưu trong kinh tế.
1. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG THỰC TIỄN
Khi tiến hành kế hoạch sản xuất, điều khiển các hệ thống, thiết kế kĩ thuật,... nếu biết dựa trên các nguyên tắc cực trị sẽ tiết kiệm được vật tư, tiền vốn, tài nguyên, sức lao động, thời gian và tăng được hiệu quả giải quyết các vấn đề đặt ra.
Cơ sở lí thuyết và các phương pháp thực hành để giải quyết những vấn đề nêu trên nằm trong lí thuyết các bài toán tối ưu. Một trong những phương pháp đơn giản thường dùng để giải các bài toán tối ưu là vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của các hàm mục tiêu.
Trang 35
HĐ1. Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm P khoảng 6 km về phía bắc. Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5 km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với 0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.
a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết trong bài toán trên.
b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a).
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
Bảng tổng hợp sau giới thiệu các bước cơ bản để giải các bài toán tối ưu trong thực tiễn (bằng cách thiết lập hàm số và vận dụng kiến thức đạo hàm tính cực trị).
CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
Bước 1. Hiểu vấn đề: Cần xác định rõ: Điều chưa biết là gì? Các đại lượng đã cho là gì? Các điều kiện đã cho là gì?
Bước 2. Giới thiệu kí hiệu: Gán một kí hiệu cho đại lượng sẽ được cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá (ví dụ: L, S, P, Q,...). Đồng thời chọn các kí hiệu cho các đại lượng chưa biết khác (ví dụ x, t, a, b, c,...).
Bước 3. Tìm mối quan hệ giữa các biến: Thể hiện các thông tin của bài toán dưới dạng các biến số (chọn trong các kí hiệu từ Bước 2). Sử dụng thông tin đã cho để tìm mối quan hệ (ở dạng phương trình) giữa các biến này. Sau đó, sẽ biểu thị mối quan hệ đó dưới dạng một hàm số, chẳng hạn như L = f(x). Tìm miền xác định của hàm số này.
Bước 4. Phát biểu bài toán. Phát biểu lại bài toán dưới dạng bài toán tối ưu của hàm số (một biến số).
Bước 5. Giải quyết vấn đề: Sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán tối ưu này (ví dụ sử dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số). Thể hiện lời giải trong ngữ cảnh của bài toán thực tiễn.
Trang 36
Ví dụ 1. Xét bài toán ở HĐ1. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, người đánh cá nên chèo thuyền đến điểm Q cách điểm P về phía bắc bao xa?
b) Nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất như thế nào?
Giải
Kí hiệu 
là quãng đường người đánh cá chèo thuyền, 
là vận tốc chèo thuyền. Kí hiệu 
là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển và 
là vận tốc đi bộ.
a) Vì điểm Q ở phía bắc điểm P với PQ = x (km), x ∈ [0; 6], nên = BQ = 6 − x (km).
Do tam giác APQ vuông tại P nên 
.
Từ HĐ1, ta có = 3 km/h, = 5 km/h. Khi đó, thời gian người đánh cá chèo thuyền từ A đến Q là 
(giờ). Thời gian anh ấy đi bộ từ Q về B là 
(giờ).
Vậy nếu anh ấy chèo thuyền đến Q rồi đi bộ về nhà thì hết 
(giờ). Tổng thời gian để chèo thuyền và đi bộ về nhà của người đánh cá là
, 0 ≤ x ≤ 6.
Miền khảo sát của hàm số T(x) là [0; 6]. Chú ý rằng, nếu x = 0 thì Q trùng với P, nếu x = 6 thì Q trùng với B.
Đạo hàm của hàm T(x) là
.
Ta có: T'(x) = 0 ⇔ 
hay 
. Từ giả thiết x ≥ 0 ta suy ra 
, hay 
. Vậy 
.
Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:
, 
, 
.
Vì giá trị 
là giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị nhỏ nhất của T(x) đạt được khi 
.
Vậy để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, anh ấy nên chèo thuyền đến điểm Q cách P về phía bắc 1,5 km.
b) Khi 
thì 
.
Trang 37
Khi đó
.
Hàm số T(x) nghịch biến trên đoạn [0; 6] nên giá trị nhỏ nhất của T(x) đạt được khi x =6, tức là khi Q trùng B. Vậy nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất là AB, tức là đi thuyền thẳng từ A về B.
Luyện tập 1. Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc a so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu 
= 9 m/s (H.2.10). Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình 
, ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là g = 9,8 m/s
).
b) Xác định góc ném α để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.
Hình 2.10
Ví dụ 2. (Định luật phản xạ ánh sáng)
Xét sự phản xạ ánh sáng trên một gương phẳng: Tia sáng đi từ điểm A đến điểm P trên gương phẳng, sau đó bị phản xạ đến điểm B (H.2.11). Theo nguyên lí Fermat, tia sáng di chuyển sao cho đường truyền APB là ngắn nhất. Chứng minh rằng khi đó góc tới i bằng góc phản xạ i'.
Giải
Theo nguyên lí Fermat, khi đường truyền APB ngắn nhất thì mặt phẳng (APB) vuông góc với mặt phẳng gương.
Mặt phẳng qua A, B và vuông góc với gương phẳng, cắt gương phẳng theo đường thẳng d. Gọi hình chiếu của A, B xuống gương phẳng lần lượt là A', B'. Đặt AA'= a, BB' = b và A'B' = c không đổi.
Giả sử điểm P tuỳ ý trên d, nằm trong đoạn A'B' sao cho A'P = x, 0 ≤ x ≤ c.
Kí hiệu chiều dài đường gấp khúc APB là L(x). Từ hình vẽ ta có
.
Theo nguyên lí Fermat, ánh sáng tuân theo nguyên tắc đường đi ngắn nhất. Vậy điểm P thuộc đường thẳng d sao cho chiều dài đường gấp khúc APB (tức là L(x)) ngắn nhất. Lấy đạo hàm của hàm số L(x) ta có
Hình 2.11
Trang 38
Xét phương trình L'(x)=0, ta có 
.
Với 0 ≤ x < c ta được phương trình 
hay 
.
Từ đó suy ra 
hay 
.
Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số L(x) trên đoạn [0; c], ta tính các giá trị:
, 
, 
.
Dễ thấy rằng 
là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị: L(0), L(c), .
Vậy L(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại 
thỏa mãn 
hay cot i = cot i', tức là i = i'.
Từ đó suy ra, khi đường gấp khúc APB ngắn nhất thì góc tới bằng góc phản xạ.
| Định luật phản xạ ánh sáng - Tia phản xạ nằm trong cùng mặt phẳng với tia tới và đường pháp tuyến của gương tại điểm tới. - Góc phản xạ bằng góc tới: i' = i.  Hình 2.12 |
Luyện tập 2. (Định luật khúc xạ ánh sáng)
Gọi 
là vận tốc ánh sáng trong không khí và 
là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (H.2.13). Vận dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ i' thoả mãn phương trình 
.
Phương trình này được gọi là Định luật Snell.
Hình 2.13
Nước
Không khí
Trang 39
2. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về một số ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế học. Đầu tiên, chúng ta giới thiệu một số hàm số trong kinh tế học.
Nhận xét
• Hàm chi phí
Nếu C(x) là tổng chi phí mà công ty (doanh nghiệp) phải trả để sản xuất x đơn vị hàng hoá thì C(x) được gọi là hàm chi phí.
• Hàm cầu
Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị hàng hoá khi giao dịch x đơn vị hàng hoá. Khi đó p(x) được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và hàm số này được kì vọng là hàm giảm theo biến x.
Hình 2.14
• Hàm doanh thu
Nếu x đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị p(x), thì hàm doanh thu, kí hiệu là R(x), được tính bởi công thức
R(x) = x · p(x).
• Hàm lợi nhuận
Nếu x đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị là p(x), thì hàm lợi nhuận, kí hiệu là P(x), được tính bởi công thức
P(x) = R(x) - C(x) = xp(x) - C(x)
Hình 2.15
Ví dụ 3. Một cửa hàng đồ điện dân dụng đã bán được 200 máy sấy tóc mỗi tháng với giá đến bạn dùng đã bán được 200 máy mỗi máy là 150 nghìn đồng. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng, đối với mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng.
a) Tìm hàm cầu và hàm doanh thu.
b) Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu để có doanh thu lớn nhất?
Giải
Gọi x là số lượng máy sấy tóc bán ra trong một tháng với giá là p(x) (nghìn đồng), x ≥ 200.
a) Ta đã biết p(200) = 150. Vì mỗi khoản giảm giá 5 nghìn đồng cho người mua, số lượng máy sấy tóc bán ra sẽ tăng thêm 20 chiếc mỗi tháng, nên cho mỗi một chiếc máy sấy tóc bán thêm được thì giả phải giảm là 
. Khi đó số lượng máy sấy tóc bán ra x (x ≥ 200), tăng thêm so với 200 chiếc là x – 200 (nghìn đồng).
Trang 40
Do vậy hàm cầu: 
.
Hàm doanh thu: 
.
b) Để tối đa hoá doanh thu, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm R(x) với x ≥ 200. Ta có R'(x)= 200 – x; R'(x) = 0 khi x = 400. Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất của hàm số, ta thấy R(400) = 40 000 là giá trị lớn nhất của hàm doanh thu, đạt được khi x = 400. Khi đó giá của một chiếc máy sấy tóc là p(400) = 100 nghìn đồng. Tức là một chiếc máy sấy tóc giảm giá 50 nghìn đồng. Vậy để tối đa hoá doanh thu, cửa hàng nên giảm giá 50 nghìn đồng.
Ví dụ 4. Nhân dịp Ngày Quốc tế phụ nữ 8 – 3, câu lạc bộ mĩ thuật của An muốn tổ chức kinh doanh thiệp chúc mừng ngày 8 – 3 để gây quỹ sinh hoạt cho câu lạc bộ. Mỗi tấm thiệp mua về với giá 8 nghìn đồng. Các bạn trong câu lạc bộ sẽ sáng tác thêm nội dung của thiệp (vẽ thêm hình ảnh người, hoa cỏ, lời chúc...) và sau đó bán lại. Với mức giá bán 20 nghìn đồng cho 1 tấm thiệp, câu lạc bộ có thể bán được 500 chiếc. Cứ với mỗi 1 nghìn đồng giảm giá, số lượng hàng bán ra tăng thêm 50 chiếc. Vậy câu lạc bộ nên để giá bán như thế nào để gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất?
Giải
Gọi x (nghìn đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi tấm thiệp, 0 ≤ x ≤ 20. Số lượng tấm thiệp bán ra là: 500 + 50x (chiếc).
Hàm chi phí cho 500 + 50x tấm thiệp là (500 + 50x) · 8 (nghìn đồng).
Hàm doanh thu cho 500 + 50x tấm thiệp là
(500 + 50x) · (20 – x) (nghìn đồng).
Khi đó lợi nhuận thu được là
P(x) = (20 - x)(500 + 50x) - 8 · (500 + 50x)
= (12 – x)(500 + 50x) = 6 000 + 100x − 50x
(nghìn đồng).
Để tối đa hoá lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 ≤ x ≤ 20.
Ta có P'(x)= 100 – 100x =0 khi x =1. Khi đó P(1) = 6 050 (nghìn đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x =1. Tức là mỗi tấm thiệp nên giảm giá 1 nghìn đồng. Vậy giá bán mới nên là 19 nghìn đồng thì câu lạc bộ sẽ gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất.
Luyện tập 3. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bản này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bản. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?
Trang 41
Nhận xét
Chi phí biên là tốc độ thay đổi của hàm chi phí C(x) đối với x, tức là đạo hàm C'(x).
Đạo hàm R'(x) của hàm doanh thu R(x) được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.
Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P'(x) của hàm lợi nhuận.
Ví dụ 5. Nếu C(x) là chi phí sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hoá là 
.
Biết rằng hàm chi phí cho bởi công thức
C(x) = 3 400 + 6x +0,02x
(nghìn đồng).
a) Hãy tìm chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên ở mức sản xuất 500, 1000, 2000 đơn vị hàng hoá.
b) Xác định mức sản xuất để chi phí trung bình là nhỏ nhất.
Hình 2.16
C = C(x)
Giải
a) Chi phí biên là
C'(x) = 6 + 0,04x.
Chi phí trung bình là
.
Khi đó ta có
| x | Chi phí C(x) | Chi phí biên C'(x) | Chi phí trung bình |
| 500 | 11 400 | 26 | 22,8 |
| 1 000 | 29 400 | 46 | 29,4 |
| 2 000 | 95 400 | 86 | 47,7 |
Trang 42
b) Ta cần tìm x để c(x) nhỏ nhất. Ta có:
; c'(x) = 0 ⇔ 
⇔ 
.
Khi đó c(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại 
. Ta có c(412) < c(413).
Do số đơn vị hàng hoá x phải là số nguyên dương nên chi phí trung bình c(x) là nhỏ nhất khi mức sản xuất là x = 412 đơn vị hàng hoá.
Luyện tập 4. Biết rằng 
là hàm chi phí và p(x) =1700 – 7x là hàm cầu của x đơn vị hàng hoá. Hãy tìm mức sản xuất để lợi nhuận là lớn nhất.
BÀI TẬP
2.6. Một cửa sổ có dạng phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (H.2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Hình 2.17
2.7. Người ta muốn kéo một đường dây điện từ nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây điện nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mắt 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm
Trang 43
dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (H. 2.18). Tìm vị trí của điểm S sao cho chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất.
Hình 2.18
2.8. Một xe khách tuyến có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu chuyến xe chở x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là 
(đồng). Xe có doanh thu cao
nhất khi chở bao nhiêu hành khách, và doanh thu đó bằng bao nhiêu?
2.9. Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích 5 l. Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m
, giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m. Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn? (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)
2.10. Giả sử 
(nghìn đồng) là hàm chi phí và p(x) = 1500 – 3x (nghìn đồng) là hàm cầu của x đơn vị một loại hàng hoá nào đó.
a) Tìm công thức của hàm lợi nhuận P(x), biết rằng hàm lợi nhuận bằng hiệu của hàm doanh thu và hàm chi phí.
b) Tìm mức sản xuất x để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
