Trang 23
Trong cuộc sống, chúng ta thường phải giải quyết các bài toán tối ưu, chẳng hạn bài toán tìm phương án sản xuất hoặc vận chuyển sao cho chi phí cần thiết là nhỏ nhất hoặc lợi nhuận thu được là lớn nhất. Chuyên đề này giới thiệu phương pháp hình học để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến và phương pháp đạo hàm để giải một số bài toán tối ưu đơn giản thường gặp có thể đưa về việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số một biến số.
Hàm mục tiêu F = ax + by
Tập các phương án chấp nhận được
Phương án tối ưu
| THUẬT NGỮ • Bài toán quy hoạch tuyến tính • Hàm mục tiêu, các ràng buộc • Phương án chấp nhận được, điểm cực biên, phương án cực biên và phương án tối ưu | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Vận dụng các kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính. |
Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Mỗi kilôgam sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ làm, đem lại mức lợi nhuận 40 nghìn đồng. Mỗi kilôgam sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ làm, đem lại mức lợi nhuận là 30 nghìn đồng. Xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu và tối đa 1 200 giờ làm việc. Hãy đặt kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có mức lợi nhuận cao nhất.
Trang 24
1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIẾN
HĐ1. Trong bài toán mở đầu, gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.
a) Kí hiệu F(x; y) là lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại l và y kg sản phẩm loại II. Viết biểu thức tính F(x; y) theo x và y.
b) Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẳn ràng buộc x và y thoả mãn yêu cầu của bài toán.
c) Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ để thấy rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình tìm được trong ý b là một miền tứ giác. Tìm toạ độ các đỉnh của miền tứ giác này.
d) Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của miền tứ giác tìm được trong ý b, từ đó dự đoán về mức lợi nhuận cao nhất.
Trong thực tiễn, ta thường gặp bài toán sau:
| Tìm giá trị lớn nhất (tương ứng, giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = Ax + By trên miền nghiệm S của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
ở đó A, B là hai số thực cho trước, không đồng thời bằng 0. Các bài toán như vậy gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến. Biểu thức F(x; y) ở trên gọi là hàm mục tiêu. |
(1)Chú ý
a) Mỗi bất phương trình trong hệ (1) gọi là một ràng buộc. Nếu (
; 
) là một nghiệm của hệ (1) thì ta nói (; ) là một phương án chấp nhận được hoặc phương án khả thi của bài toán. Tập các phương án chấp nhận được còn gọi là miền chấp nhận được. Nếu F(x; y) đạt giá trị lớn nhất (tương ứng, giá trị nhỏ nhất) trên miền nghiệm S tại (; ) thì cặp (; ) gọi là một phương án tối ưu của bài toán và giá trị F(; ) gọi là giá trị tối ưu.
b) Bài toán quy hoạch tuyến tính trên được kí hiệu như sau:
F(x; y) = Ax + By → max (min)
với các ràng buộc
.
c) Trong hệ (1), một số ràng buộc có thể được viết dưới dạng ax + by ≥ c.
Ví dụ 1. Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm X, Y. Nguyên liệu để sản xuất gồm ba loại là bột, đường và dầu thực vật, với lượng dự trữ tương ứng là 15 tấn, 12 tấn, 10 tấn. Để sản xuất:
• 1 tấn thực phẩm loại X cần 0,5 tấn bột, 0,5 tấn đường, 0,2 tấn dầu thực vật;
• 1 tấn thực phẩm loại Y cần 0,6 tấn bột, 0,3 tấn đường, 0,5 tấn dầu thực vật.
Trang 25
Giá bán một tấn thực phẩm X là 100 triệu đồng, giá bán một tấn thực phẩm Y là 112 triệu đồng. Hỏi cần sản xuất mỗi loại thực phẩm bao nhiêu tấn để có doanh thu lớn nhất?
Gọi x và y lần lượt là số tấn thực phẩm X và Y cần sản xuắt.
a) Viết biểu thức F(x; y) biểu thị số tiên bán thực phẩm thu được theo x và y.
b) Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y biểu thị các ràng buộc của bài toán.
c) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình tìm được trong ý b. Tìm toạ độ các đỉnh của miền nghiệm và tính giá trị của F(x; y) tại các điểm đó.
Giải
a) F(x; y) = 100x + 112y triệu đồng.
b) Số tấn bột để sản xuất x tấn thực phẩm X và y tấn thực phẩm Y là 0,5x + 0,6y.
Số tấn đường để sản xuất x tấn thực phẩm X và y tấn thực phẩm Y là 0,6x + 0,3y.
Số tấn dầu thực vật để sản xuất x tấn thực phẩm X và y tấn thực phẩm Y là 0,2x + 0,5y.
Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có hệ:
.
c) Tập các phương án chấp nhận được là miền ngũ giác tô màu trong Hình 2.1.
Các đỉnh của miền nghiệm là:
O(0; 0), A(0; 20), 
, C(18; 10), D(24; 0).
Ta có:
F(0; 0) = 100 · 0 + 112 · 0 = 0;
F(0; 20) = 100 · 0 + 12 · 20 = 2 240,
.
F(18; 10)= 100 · 18 + 112 · 10 = 2 920;
F(24; 0) = 100 · 24 + 112 · 0 = 2 400.
Hình 2.1
Ví dụ 2. Xét bài toán:
F(x; y) = 3x + 2y → min
với các rằng buộc
.
a) Biểu diễn tập nghiệm của hệ các ràng buộc trên mặt phẳng toạ độ.
b) Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d: x + y = 3 với đường thẳng d': x - y = 1 và trục Oy. Tính giá trị F(x; y} tai các điểm A và B.
Trang 26
Giải
a) Tập nghiệm của hệ các ràng buộc là miền không bị chặn được tô màu như trong Hình 2.2.
b) Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng d và d' là A(2; 1). Toạ độ giao điểm B của đường thẳng d và trục Oy là B(0: 3).
Ta có: F(2; 1) = 3 · 2 + 2 · 1= 8; F(0; 3) = 3 · 0 + 2 · 3 = 6.
Hình 2.2
Chú ý
• Trong Ví dụ 2, các điểm A, B cũng được gọi là "đỉnh” của miền nghiệm S.
• Nếu phương án chấp nhận được (
; 
) là một đỉnh của miền nghiệm thì (; ) được gọi là một điểm cực biên hoặc phương án cực biên.
Luyện tập 1. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y. Từ mỗi tần nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thẻ chiết xuất được 20 kg chất X và 06 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất X và 1,5 kg chất Y. Cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II.
Phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu đặt ra ở trên?
a) Đặt ẩn và viết bài toán quy hoạch tuyến tính diễn tả yêu cầu của bài toán trên.
b) Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được và tìm các phương án cực biên.
2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC LÀ MIỀN ĐA GIÁC
HĐ2. Ta giải bài toán trong Tình huống mở đầu.
Từ HĐ1 ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
F(x; y) = 40x + 30y → max
với các rằng buộc
.
Miền chấp nhận được S của bài toán là miền tứ giác tô màu trong Hình 2.3.
a) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn F(x; y)= 40x + 80y =1 200.
Hình 2.3
Phương án tối ưu
Trang 27
b) Với mỗi số thực m xét đường thẳng 
: 40x + 30y = m.
Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để ∩ S ≠ Ø.
c) Từ phần b suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S, từ đó suy ra lời giải của bài toán.
Nhận xét
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính với tập các phương án chấp nhận được S. Người ta chứng minh được rằng:
• Nếu S = Ø thì bài toán không có phương án tối ưu.
• Nếu S ≠ Ø và là miền đa giác thÌ bài toán luôn có phương án tối ưu và phương án tối ưu là một trong các phương án cực biên.
Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được là miền đa giác:
Bước 1. Đặt biến.
Bước 2. Xác định hàm mục tiêu.
Bước 3. Xác định hệ bất phương trình bậc nhất gồm tắt cả các ràng buộc của bài toán.
Bước 4. Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được. Tìm các phương án cực biên.
Bước 5. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu rồi kết luận.
Ví dụ 3. (Bài toán vitamin) Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại vitamin A và B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:
i) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A lẫn B;
ii) Trong một ngày mỗi người có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B;
iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên, nên mỗi ngày, một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 90 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 75 đồng. Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thoả mãn các điều kiện ở trên sao cho chi phí
rẻ nhất.
Giải
Bước 1. Gọi x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà một người dùng mỗi ngày.
Bước 2. Chi phí mua vitamin là F(x; y) = 90x + 75y đồng.
Bước 3. Hệ bắt phương trình ràng buộc x và y là
0<x<600
0< y<500
400 < x+ y<1000
1
'x<y<3x
HS.
Trang 28
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền lục giác MNPQRS trong Hình 2.4.
Các điểm cực biên là:
M(100, 300), 
, P(500, 500), Q(600; 400) , R(600; 300), 
.
Hình 2.4
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền lục giác MNPQRS. Ta biết rằng F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của lục giác ta được:
F(100; 300) = 31 500; 
, F(500; 500) = 82 500;
F(600; 400) =84 000, F(600; 300) = 76 500; 
.
Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) bằng 31 500 tại M(100; 300). Phương án tối ưu là (100, 300), Vậy chi phí mua vitamin nhỏ nhất là 31 500 đồng khi x = 100 và y = 300.
Bây giờ ta sẽ xét một tình huống mà phương án tối ưu của bài toán đạt được tại vô số điểm trên miền chấp nhận được.
Ví dụ 4. Một công ty sơn sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại X và Y với trữ lượng lần lượt là 6 tấn và 8 tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 2 tấn nguyên liệu X và 1 tấn nguyên liệu Y. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 1 tấn nguyên liệu X và 2 tấn nguyên liệu Y. Qua nghiên cứu thị trường, công ty thấy rằng nhu cầu sơn nội thất không nhiều hơn sơn ngoài trời quá 1 tấn và nhu cầu cực đại của sơn nội thất là 2 tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là 60 triệu đồng, một tấn sơn ngoài trời là 30 triệu đồng. Công ty cần sản xuất mỗi loại sơn bao nhiêu tấn để doanh thu lớn nhất?
Giải
Bước 1. Gọi x và y lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời công ty cần sản xuất.
Bước 2. Doanh thu của công ty là
F(x; y) = 60x + 30y (triệu đồng).
Bước 3. Hệ bất phương trình bậc nhất ràng buộc x và y là
.
Hình 2.5
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bắt phương trình này là miền lục giác OABCDE trong Hình 2.6.
Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(1; 0), B(2; 1), C(2; 2), 
, E(0, 4).
Trang 29
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền lục giác OABCDE.
Ta biết rằng, F(x; y) đạt giá trị lớn nhát tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của đa giác ta được:
F(0; 0) = 0; F(1; 0 )= 60, 
, F(0; 4) = 120.
Chú ý rằng vì đường thẳng CD có phương trình 2x + y = 6, nên với mọi điểm M(x; y) thuộc đường thẳng CD ta đều có F(x; y) = 60x + 30y = 30(2x + y) = 30 · 6 =180. Vậy biểu thức F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại mọi điểm M(x; y) thuộc đoạn thẳng CD. Như vậy bài toán có vô số phương án tối ưu, đó là toạ độ của tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng CD. Từ đó suy ra, công ty cần sản xuất x tấn sơn nội thất và y = 6 - 2x tấn sơn ngoài trời với 
thì doanh thu lớn nhất.
Luyện tập 2. Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chị đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Phải thuê bao nhiêu xe loại A và bao nhiêu xe loại B để chi phí bỏ ra là ít nhất mà vẫn chở được hết hàng và người?
3. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHÔNG LÀ MIỀN ĐA GIÁC
HĐ3. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính
F(x; y) = 3x + 4y → min
với các rằng buộc
.
a) Kiểm tra lại rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.
b) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn
F(x; y) = 3x + 4y =12.
c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng
: 3x + 4y =m.
Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để ∩ S ≠ Ø.
Hình 2.6
Phương án tối ưu
d) Từ phần c suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền chấp nhận được. Chứng tỏ rằng, giá trị nhỏ nhất này chính là giá trị của F(x; y) tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được.
Trang 30
Nhận xét
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính với tập các phương án chấp nhận được S. Người ta chứng minh được rằng:
• Nếu bài toán có phương án tối ưu thì phương án tối ưu là một trong các phương án cực biên.
• Nếu hàm mục tiêu F(x; y)= Ax + By có A > 0, B > 0 và các ràng buộc bao gồm x ≥ 0, y ≥ 0 và miền chấp nhận được không là miền đa giác thì F(x; y) có giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 5. (Bài toán khẩu phần ăn) Một chuyên gia dinh dưỡng dự định làm một thực đơn gồm hai loại thực phẩm chính X và Y. Biết rằng:
• Cứ 100 gam thực phẩm X chứa 2 đơn vị chất béo, 1 đơn vị carbohydrate và 4 đơn vị protein.
• Cứ 100 gam thực phẩm Y chứa 3 đơn vị chất béo, 3 đơn vị carbohydrate và 3 đơn vị protein.
Vị chuyên gia này muốn thức ăn phải cung cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate và 24 đơn vị protein. Chuyên gia này phải làm thực đơn thế nào để chi phí mua nguyên liệu là rẻ nhất và vẫn đảm bảo các yêu cầu ở trên? Biết rằng 100 gam thực phẩm X có giá 20 nghìn đồng và 100 gam thực phẩm Y có giá 25 nghìn đồng.
Giải
Bước 1. Gọi x và y lần lượt là số trăm gam thực phẩm X và Y trong thực đơn.
Bước 2. Chi phí mua thực phẩm là F(x; y) = 20x + 25y (nghìn đồng).
Bước 3. Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là
Hình 2.7
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tô màu, không là miền đa giác, trong Hình 2.7.
Ở đây 
: 2x + 3y = 18; 
: x + 3y = 12; 
: 4x + 3y = 24.
Các điểm cực biên là A(0; 8), B(3; 4), C(6; 2), D(12, 0).
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Theo Nhận xét ở trên, F(x; y) có giá trị nhỏ nhất trên S và đạt được tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được. Tính giá trị của F(x; y) tại các điểm cực biên ta được:
F(0; 8) = 200; F(3; 4) = 160; F(6; 2) = 170; F(12; 0) = 240.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S là 160 đạt được tại B(3; 4). Suy ra phương án tối ưu là B(3; 4) và giá trị tối ưu là 160.
Vậy chuyên gia thực phẩm cần mua 300 gam thực phẩm X và 400 gam thực phẩm Y thì chi phí mua thực phẩm sẽ ít nhất mà vẫn đảm bảo yêu cầu về dinh dưỡng.
Trang 31
Ví dụ 6. Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho trên mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ các điểm cực biên.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thoả mãn hệ bất phương trình trên.
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức G(x; y) = −x + 0,5y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Giải
a) Miền nghiệm của S hệ bất phương trình không là miền đa giác và được tô màu trong Hình 2.8. Ở đây 
, 
và 
là các đường thẳng có phương trình lần lượt là x + y = 3, 2x - y = 1 và x − 2y = 4.
Có ba điểm cực biên là: A(2; 3), 
và C(3; 0).
Hình 2.8
b) Vì miền chấp nhận được không là miền đa giác và có x ≥0, y ≥0, nên theo Nhận xét ở trên thì F(x; y) có giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất.
Tính giá trị của F(x; y) tại các điểm cực biên ta được:
F(2; 3) = 2 · 2 + 3 · 3 = 13;
;
F(3; 0) = 2 · 3 + 3 · 0 = 6.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) bằng 6 tại điểm cực biên C(3; 0).
Thực tế, ta thấy biểu thức F(x; y) có thể lớn tuỳ ý khi x, y đủ lớn, vì vậy F(x; y) không có giá trị lớn nhất trên miền S.
c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng 
.
Đường thẳng 
song song với AB và cắt Oy tại điểm (0; 2m) (H.2.9). Dễ thấy L_m ∩ S ≠ Ø nếu và chỉ nếu 2m ≤ -1 hay 
. Từ đó suy ra, giá trị lớn nhất của G(x; y) bằng 
đạt được tại mọi điểm của đoạn AB. Thực tế, với mọi điểm M(x; y) thuộc đoạn AB ta đều có
.
Hình 2.9
Trang 32
Cũng từ kết quả: 
∩ S ≠ Ø nếu và chỉ nếu m ≤ 
suy ra G(x; y) không có giá trị nhỏ nhất trên miền S. Thực tế, G(x; y) có thể nhỏ tuỳ ý khi x đủ lớn còn y = 0.
Luyện tập 3. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
F(x, y) = x + 2y → min
với các ràng buộc
Vận dụng. Một chủ trang trại cần sử dụng phân bón để chăm sóc cho một loại đậu tương. Loại đậu tương này cần ít nhất 18 đơn vị đạm và ít nhất 6 đơn vị phosphate. Ông chủ trang trại có thể sử dụng hai loại phân bón X và Y. Giá cả, hàm lượng đạm và hàm lượng phosphate có trong một tạ phân X và một tạ phân Y được cho bởi bảng sau:
| Phân bón | Số đơn vị đạm | Số đơn vị phosphate | Giá (triệu đồng) |
| X | 3 | 2 | 1,7 |
| Y | 6 | 1 | 1,2 |
Hãy cho biết cần phải mua bao nhiêu tạ phân loại X, bao nhiêu tạ phân loại Y để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho loại đậu tương trên?
BÀI TẬP
2.1. Một trung tâm tổ chức sự kiện có một phòng tổ chức lễ cưới với hai kiểu bàn ăn: bàn hình chữ nhật ngồi 6 người với giá thuê 200 nghìn đồng và bàn tròn ngồi 10 người với giá thuê 300 nghìn đồng. Anh Nam muốn thuê phòng để tổ chức đám cưới với 250 khách mời. Căn phòng chỉ chứa được tối đa 35 bàn các loại và chỉ có 15 bàn hình chữ nhật. Hỏi anh Nam phải thuê mỗi loại bàn bao nhiêu để giảm thiểu tối đa chi phí mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu trên?
2.2. Một cơ sở sản xuất hai loại sữa chua X và Y. Nguyên liệu chính để sản xuất hai loại sữa chua này là dâu tây, sữa và đường. Để sản xuất một đơn vị sữa chua X và một đơn vị sữa chua Y cần lượng nguyên liệu như trong bảng:
| Nguyên liệu | Sữa chua X | Sữa chua Y |
| Dâu tây | 2 kg | 3 kg |
| Sữa | 2 kg | 1 kg |
| Đường | 0 kg | 1 kg |
Nguồn nguyên liệu dự trữ dâu tây, sữa và đường lần lượt là 1,2 tấn; 0,8 tấn và 0,3 tấn. Giá bán mỗi đơn vị sữa chua X và Y lần lượt là 800 nghìn đồng và 1,2 triệu đồng. Cơ sở sản xuất cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sữa chua X và Y để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Trang 33
2.3. Một nhà máy hoá chất sản xuất hai hợp chất X và Y. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất X sẽ có 2 dm
khí CO (carbon monoxide) và 6 dm khí 
(sulfur dioxide) phát tán ra môi trường. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất Y sẽ có 4 dm khí CO và 3 dm khí SO, phát tán ra môi trường. Các yêu cầu về khí thải chỉ cho phép nhà máy phát thải ra mỗi trường mỗi tuần không quá 3 000 dm khí CO và không quá 5 400 dm khí . Nhà máy có thể bán hết tất cả các đơn vị hợp chất X và Y sản xuất ra với giá 36 000 đồng một đơn vị hợp chất X và 24 000 đồng một đơn vị hợp chất Y. Xác định số đơn vị hợp chất X và Y mỗi loại cần sản xuất trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về khí thải môi trường.
2.4. Chế độ ăn của một người yêu cầu mỗi ngày tối thiểu 400 đơn vị vitamin, 500 đơn vị khoáng chất và 1 400 đơn vị calo. Có hai loại thức ăn 
và 
; mỗi đơn vị giá 1 200 đồng và mỗi đơn vị giá 720 đồng. Mỗi đơn vị thức ăn chứa 2 đơn vị vitamin, 1 đơn vị khoáng chất và 4 đơn vị calo. Mỗi đơn vị thức ăn chứa 1 đơn vị vitamin, 2 đơn vị khoáng chất và 4 đơn vị calo. Tìm chế ăn hỗn hợp và sao cho chi phí là ít nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về dinh dưỡng.
2.5. Một hãng bán gà rán nghiên cứu thấy rằng để làm ra món gà rán có chất lượng tốt nhất thì thức ăn cho gà cần được bổ sung thêm 4 loại vitamin V1, V2, V3 và V4. Tổng lượng vitamin tối thiểu phải bổ sung cho mỗi 100g thức ăn cho gà là: V1 cần 50 đơn vị, V2 cần 100 đơn vị, V3 cần 60 đơn vị và V4 cần 180 đơn vị. Có hai loại thức ăn S1 và S2 cung cấp 4 loại vitamin này. Loại S1 có giá 720 đồng một gam và mỗi gam S1 có chứa 5 đơn vị V1, 25 đơn vị V2, 10 đơn vị V3 và 35 đơn vị V4. Loại S2 có giá 960 đồng một gam và mỗi gam S2 có chứa 25 đơn vị V1, 10 đơn vị V2, 10 đơn vị V3 và 20 đơn vị V4. Hỏi cần phải thêm vào 100 gam thức ăn cho gà mỗi loại S1 và S2 bao nhiêu gam để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng cho gà?
